Senin, 22 November 2010

GRUP DAN SEMIGRUP

sub : Matematika

credit : degustutorial.blogspot.com
Pada Bab 2 ini kita akan menambahkan beberapa aksiorpa untuk mendapatkan
Sistem Aljabar yang lebih khusus, yakni Sistem Aljabar Grup.
DERNISI GRUP
Definisi2,1 (Grup)
Misalkan G adalah suatu himpunantidak hampa dengan sebuah operasi binar.
Maka G disebut suatu Grup jika tiga aksioma berikut terpenuhi:
[GI] Hukum Asosjatif, yakni, untuk sembarang a, b, c pada G, berlaku
(ab)c =a(bc)
[G2] Elemen Identitas, yakni, terdapat suatu elemen e pada G sedemikian sehingga
ae=ea=a
untuk sembarang elemen a pada G
[G3] Invers, yakni, untuk masing-masing a pada G, terdapat suatu elemen a-I
(invers dari a) pada G, sedemikian sehingga
Penambahan aksioma ([G2] dan [G3] mengubah Semigrup menjadi suatu Grup.
Definisi 2.2 (Grup Abel)
Suatu Gmp G dikatakan Grup Abel atau Grup Abelian, atau Grup Komutatif,
jika hukum komutatif berlaku: yakni, jika
ab=ba
untuk setiap a, beG.
22
Bila operasi binar dinyatakan hanya dengan blank seperti diatas, maka Grop
G dikatakan Grup aditif.
Pada Gmp aditif ini, elemen identitasdinyatakandengan 0 dan disebut elemen
nol atau elemen zero.
lovers dari elemen a dinyatakan dengan -a dan disebut negatif dari a.
Dalam hal A dan B adaJah subset dari G, kita dapat mendefmisikan 2 operasi
AB, dan A+B yang kita tulis
AB = {ab: ae A, be B} atau
A+B ={a+b: a e A, b e B}
Sekarang kita definisikan order dari suatu Grop, dan Grop hingga.
Definisi 2.3 Order)
Order dari Gmp G adalah banyaknya elemen Grop G, dinyatakan dengan 101.
Definisi 2.4 (Grup Hingga)
G adalah suatu Grup Hingga, jika order dari 0 hingga.
CONTOH GRUP
Contoh 2.1
Himpunan integer Z, himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan real
R, dan himpunan bilangan kompleks C masing-masingMaIah Grop Abel di bawah
operasi penjumlahan.
Contoh 2.2
Himpunan integer positif N tidak membentuk suatu Grup di bawah penjumlahan,
karena, sebagai contoh 01eN.
23
Contoh 2.3
Himpunan bilangan rasional tidak nol Q\{O}membentuk Grup Abel di bawah
perkalian. Oi sini bilangan rasional I adalah elemen identitasdan q/p adalah invers
multiplikatif dari bilangan rasional p/q.
Contoh 2.4
Pal)dang S adalah himpunan matriks n x n dengan elemen rasional, di bawah
operasi perkalian matriks.
Meskipun perkalian matriks adalah asosiatifdan perkalian matriks mempunyai
elemen identitas I (d~nganelemen rasional),S bukanlah suatu Grup, karena invers
tidak selalu ada.
Contoh 2.5
Sementara itu himpunan G dari matriks nonsingular n x n membentuk Grup
di bawah perkalian matriks.
Elemen identitasnyaadalahmatriks identitas I, dan inversdari A adalah matriks
invers A-I. Ini adalah suatu eontoh dari Grup yang tidak Abel, karena perkalian
matriks tidak komutatif.
Khususnya,bila n = 2 makaI = 1 0
o 1
e
b adalahAI =
d -e/IAI
d/IAI
allAI
dan invers dari A = a -b/IAI
di sini IAI=ad - be adalah determinan dari A.
24
PERMUTASI DAN GRUP SIMETRIS BERDERAJAT N
Sekarang akan kuta detfnisikan Grup simetris berderajat n, yang dinyatakan
dengan sn'
Definisi 2.5
Suatu pemetaansatu-satu(one-to-one)0 dari himpunan{1,2,...,n}ke dalam
dirinyasendiri,disebutpermutasi.
Permutasi seperti itu kerap kali dinyatakan dengan
dengan jj =O(i).
Himpunan dari permutasi seperti ini, dinyatakan dengan Sn' dan terdapat n! =
1 ·2. ... ·n permutasi.
Komposisi dari permutasi pada Sn termasuk juga pada Sn' pemetaan identitas
termasuk Sn' dan i~Yers dari permutasi pada Sn termasuk Sn pula. Karenanya Sn
membentuk suatu Grup di bawah komposisi pemetaan.
Definisi 2.6 (Grup Simetris)
Grup Sn dari Koleksi semua permutasidalam S disebut Grup Simmetris
berderajat n.
Sekarang kita menentukan elemen dan tabel perkalian dari Grup Simetris S3'
S3 mempunyai 3! =6 elemen,sebagaiberikut:
123 123 123
E = 123 O2= 321 01k = 2 3 1
123 123 123
01 = 132 03 = 213 O2 = 312
25
Untuk menentukankomposisisi dua Pennutasi, misalnya
123
3 2 1
1 2 3
2 3 1
dapat kita lakukan sebagai berikut
3 ~ 1 diperoleh
2--;-73
1~2
1~1
2~3
3~2
Secara lengkap, tabel perkalian dari S3 terlihat pada Gambar 2-1.
Gombar 2-1
26
atau diperoleh 1 2 3
1 3 2
BerartiO201k = 01
E al a2 a3 f/J1 f/J2
E I E al a2 a3 01 O2
al al E 01 O2 a2 a3
a2 a2 O2 E 01 a3 al
a3 a3 01 O2 E al a2
01 01 a3 al a2 O2 E
O2 O2 a2 a3 al E 01
SIFAT GRUP
Sitat 2.1
Elemen identitas pada suatu Grup G adalah tunggal atau unik.
Bukti
Pandang e dan e' adalah elemen identitas pada G. Maka ee' =e karena e'
adalah elemen identitas, dan ee' =e' karena e adalah elemen identitas . Karenanya
e=e'._
Sitat 2.2
Invers a-I dari a, sembarang elemen G, adalah unik.
Bukti
Misalkaninversdari a adalahb dan b'. Diperoleh
b*(a*b') =b*e =b dan (b*a)*b' =e*b' =b'
Karena G asosiatif, (b*a)*b' =b*(a*b'); karenanya b =b'._
Sitat 2.3
Hokum penghapusan kiri dan kanan terpenuhi pada G.
Bukti
Jika ab =ac, maka
b = eb
= (a-Ia)b
= a-I(ab)
= a-I(ac)
= (a-1a)c
=ec
= c
Secara yang sarna, jika ba = ca,makab = c. ..
27
Sitat 2.4
Pada Grup G berlaku bahwa (a-It' =a, untuk sernbarang elernen a pada G.
Buldi
Karena a-I adalah invers dari a, kita dapatkan
Karenanya a adalah invers dari a-I; yakni a =(a-Itl, ..
Sitat 2.5
Berlaku bahwa (abtl = b-Ia-I
Buldi
Di sini
(b-Ia-I)(ab)= b-I(a-Ia)b
= b-Ieb
= b-Ib
= e
Secara yang sarna,
Karenanya, b-Ia-I adalah invers dari ab, yakni bahwa b-Ia-I =(abt',..
CONTOH
Contoh 2.6
Dibicarakan Gmp G ={1,2,3,4,5,6} di bawah perkalian modulo 7, Kita akan
rnenentukan tabel perkalian dari G,
28
Untuk mendapatkan a*b pada G, kita tentukan sisa pdari hasil kali ab dibagi
dengan 7. Sebagai contoh, 5 ·6 =30 yang menghasilkansisa 2 bila dibagi dengan
7; karenanya 5*6 =2 pada G, Tabel perkalian dari G terlihat pada Gambar 3-2.
Dapat dicatat bahwa 1 adalah elemen identitas dari G. Kemudian ingat bahwa
a-I adalah elemen dari G sedemikian sehingga aa-1=1. Karenanyasebagai contoh
2-1 =4, 3-1 =5, dan 6-1 =6.
SUBGRUP .--
Sekarang kita defmisikan suatu Subgrup dari sebuah Grup.
Definisi 2.7 (Subgrup)
Suatu subset H dari suatu Grup G disebut sebuah Subgrup dari G, jika H
sendiri membentuk sebuah Grup di bawah operasi dari G.
Teorema 2.1
PandangH adalah sebuah subset dari sebuah Grup G. Maka H adalah sebuah
Subgrup dari G jika H mempunyai tiga sifat berikut:
29
* I I 2 3 4 5 6
I 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
Gambar 3-2
(i) Elemen identitas e tennasuk H
(ii) H tertutup di bawah operasi dari G, yakni jika a, b e H maka ab e H
(Hi)H tertutup di bawah invers, yakni, jika a e H, maka a-I e H.
Bukti
H tidak hampa dan mempunyai sebuah elem~n identitas berdasarkan (i).
Operasi adalah terdifinisi rapi pada H berdasarkan (ii). lovers terdapat pada H
berdasarkan (Hi).Terakhir, hokum asosiatif berlaku pada H karena ia berlaku pada
G. Karenanya H adalah sebuah SubgriJp dari G.
CONTOH SUBGRUP
Contoh. 2.7
Kita bicarakanGrup Z dari integer, di bawah penjumlahan.Misalkan H adalah
subset dari Z berisi semua kelipatan dari integer positif m; yakni H ={...,-3m,-
2m. -m, 0, m, 2m, 3m, ... }. Kita tunjukkan bahwa H adaJahsebuah Subgrup dari
Z.
(i)
(ii)
H mengandung elemen identitas 0 dari Z.
Jika rIDdan sm adalah sembarang elemen dari H, maka jumlah rID+ sm =
(r+s) m adalah juga sebuah elemen dari H.
(iii) Jika rm adalah sembarang elemen dari H, maka negatifnya -rID juga
tennasuk H. .
GRUP SIKLIK
Misalkan G adalah sembarang Grup dan misalkan a adal3h sembarang elemen
dari G. Sekarang kita defmisikan Grup Siklik yang dibangun oleha, yang dinyatakan
dengan gp(a).
Sebagaimana biasa, kita mendefmisikan 30 =e dan an+I =an ·a.Jelas,am. an
= am+ndan (am)R= amn,untuk sembarangintegerm dan n. Misalkangp(A)
menyatakanhimpunandari semuapangkatdari a:
30
gp(a) = {..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}
Karenanya gp(a) mengandung e, tertutup di bawah .operasi Grup, dan
mengandung invers. !(arena itu, gp(a) adalah sebuah Subgrup dari G.
Definisi 2.8 (Subgrup Siklik)
Subgrup dari G,
gp(a) ={..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}
disebut Grup Siklik yang dibangun oleh a.
Misalkan a adalah sembarang elemen pada sebuah Grup G. Sekarang kita
akan menyatakan Grup Siklik gp(a), bila gp(a) hingga, dan akan mendefinisikan
order dari a.
Jika gp(a) hingga, maka beberapa pangkat dari a adaIah sarna, katakanlah ar
=as, dengan r > s. Berarti ar-s =e dengan r-s > O.
Definisi 2.9 (Order Grup Siklik)
Integer positif terkecil IIi, sedemikian sehingga
disebut order dari a, dan dinyatakan dengan Ia!.
Jika Ia!=m, maka Subgrup Sikliknya gp(a) mempunyai m elemen, yakni:
gp(a) = fe, a, a2. a3, ..., am-I}
Jika gp(a) tak hingga, maka kita definisikan bahwa Ia!= O.
31
CONTOH GRUP SIKLIK
Contoh 2.8
Kita bicarakan Grup Abel G modulo 7 dari Contoh yang lalu. Akan kita
tentukan order dan Subgrup yang dibangun oleh 2 dan 3.
Kita peroleh 21 =2
22=4
tetapi 23=1
Karenanya 121=3, dan gp(2) = {l,2,4}.
Kita peroleh 31 =3
32 =2
33=6
34 =4
3s =5
36 =1
Karenanya 131=6 dan gp(3) =G.
Jelas bahwa G ada1ah Siklik 1carenaG =gp(3).
KOSET
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita
definisikan Koset kanan (kiri) dari H.
Deflnlsl 2.10 (Koset)
Misalkan a ada1ah sembarang elemen dari G. Himpunan
32
Ha ={ha: h e H}
disebut Koset Kanan dari H. Analog dengan itu,
aH ={ah: h e H}
disebut Koset Kiri dari H. .
Teorema 2.29.2
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Koleksi Koset kanan
Ha membentuk sebuah partisi dari G.
Bulct/
. Karena e e H, rnaka a =ea e Ha; karenanya setiap e1ementennasuk suatu
Koset, yakni, a e Ha.
Sekarang pandang Ha dan Hb adalah tidak saling lepas. Katakanlah c e Ha
e Hb. Bukti kita adalah lengkap dengan menunjukkan bahwa Ha =Hb.
Karena c tennasuk kedua Ha dan Hb, kita peroleh
dengan hI' ~ e H
Karenanya
dan karenanya
Misalkanx e Ha. Karenanya
33
x =h3a
=h3h1-1~b
dengan h3 e H
Karena H adalah sebuah Subgrup, maka
karena itu x e Hb.
Karena x adalah sembarang elemen dari Ha, maka kita peroleh Ha adalah
subset Hb. Seciu'ayang sarna, kita peroleh Hb subset Ha.
Hal ini berakibat Ha =Hb, dan teorematerbukti..
Sebelum membuktikan teorema Lagrange berikut, kita perhatikan teorema bantu
berikut ini:
Teorema Bantu 2.1
Misal H adalah sebuah Subgrup hingga dari G. Akan temyata bahwa H dan
sembarang Koset Ha mempunyaijum1ahelemen berbeda yang sarna. Perhatikan,
misalkan
dengan H mempunyai k elemen. Karenanya
Karena di sini ~a = ~a berakibat~ = ~;
maka pada Ha juga terdapat k elemen yang berbeda.
Teorema 2.39.3. (Lagrange)
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup hingga_G. Order dari
H membagi order dari G.
34
Buldi
Pandang H mempunyai r elemen dan terdapat s Koset 1cananyang beIbeda.
Dari teorema 9.2, Koset mempartisi G, dan dari teoremabantn di atas, masingmasing
Koset mempunyai r elemen. Karenanya G mempunyai rs elemen, dan
karenan itu order dari H membagi order dari G'"
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Kita akan
mendefinisikanindeksdariH padaG, dinyatakandengan[G:8].
Definisi 2.11 (Indeks)
Indeks dari H pada G adalah sarna dengan banyaknya Koset 1canan(atau kiri)
dari H pada G. Jika G dan H adalah hingga, maka [G:8] =101/181.
Misalkan H adalah a Subgrop dari suatu Grop G. Kita akan mendefinisikan
suatu 5istem penyaji-Koset untuk a padaG.
Definisi 2.12 (Penysj/-Koset)
Suatu subset C dari G adalah suatu sistem penyaji-Koset dari H, jib C
mengandung tepat satu elemen dari masing-masing Koset Masing-masing e1emen
serupa itu disebut penyaji-Koset.
Banyaknya elemen pada C atau, dengan kata lain, banyaknya penyaji-Koset,
adalah sarna dengan [G:8], indeks dari H pada G.
MisalkanH adalahSubgropdari suatuGmp hinggaG. Tedapat181cara memilih
suatu elemen dari sembarangKoset,dan terdapat [G:8] Koset yang berbeda.Karena
itu terdapat IHI[G:Hs]istem penyaji-Koset untuIc:Koset dari H.
CONTOH KOSET
Contoh 2.9
Dibicarakan Grop Z dari integer, di bawah penjumlahan dan Subgrop H ={...,
-10, -5, 0, 5, 10, ...}, yang adalah berisi semua kelipatan 5. Kita akan menentukan
Koset dari H pada Z. dan indeks dari H pada Z.
35
Terdapat lima Koset (kiri) yang berbeda dari H pada Z, sebagai berikut
O+H=H ={..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}
l+H ={..., -9, -4, 1,6, 11, ...}
2+H = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}
l+-H={..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}
4+H = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}
Koset yang lain n+H akan sarna dengan salah satu Koset dia atas
Meskipun Z dan H keduanya adalah tak hingga, indeks dari H pada Z adalah
hingga. Di sini [Z:H] =5, yang merupakanjuga banyaknya Koset.
Sekarang kita akan menentukan Suatu sistem penyaji-Koset untuk Subgrup H
dari Z di atas. Sistem penyaji- Koset tersebut di antaranya adalah
{0,1,2,3,4} atau {-1,0,1,2,3}.
Sebagai catatan, kita biasanya memilih integer nonnegatifterkecil, atau integer
terkecil sebagai penyaji-Kosetuntuk suatu Subgrup H dari Z. Secara umum, kita
memilih elemen identitas untuk penyaji dari H.
Contoh 2.10
Pandang Grup Simetrik S3 yang lalu. Kita akan menentukan order dari 3
tersebut, dan Subgrup yang dibangun oleh masing-masing elemen S3'
e 1=e, karenanya IeI = I dangp(e) = {e} ·
~ll = e 1
~ 2 - e .
ul - ,
36
5ecara yang sarna
1021=2, gP(02) = {02' e }; dan
1031=2, gp(e 3) ={0:3,e }. Kib peroleh
Karenanya 1011=3 dan gp(01) = {e, 01, O2}.
Juga, 012 = O2
0l = 01
023 = 01802 = e
Di sini 53 adalah tidak 5iklik, karena 53 tidak dibangun oleh sembarang
elemennya.
Kita akan menentukan suatu 5ubgrup H herorder empat untuk Grup 5imetrik
Order dari 53 adalah 6. Dari teorema Lagrange, order dari H haruslah membagi
order dari 53. Karenanya tidak terdapat suatu 5ubgrup herorder 4.
Contoh 2.11
DibicarakanGmp 5imetrik 53padaGarnbar2.1.MisalkanA={OI'~}dan
B ={01'02}. Tentukan
(a) AB
(b) 03A dan
(c) A03
37
(a) Kalikan masing-masing elemen dari A dengan masing-masing elemen
dari B:
=~
=~ =020. =3,
=0.
(b) Kalikan 03 dengan masing-masing elemen dari A~
030.=0.
0302;: O2
(c) Kalikan masing-masin~ elemen dari A dengan 03:
0.03 =O2
~03 =.0.
Contoh 2.12
DibicarakanSubgmpH =gp(o.)danK=gp(02)dari S3pada Gambar 2.1. Di
sini HK bukan suatu Subgrup dari S3'
yang bukan merupakan suatu Subgrup dari S3' karena HI( mempunyai 4 elemen.
38
Contoh 2.13
Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa HH =H.
Karena H adalah Tertutup di bawah o~rasi dari-a, kita mempunyaiHH C H.
Pada lain pihak, pandang h E H..KarenaH adalah suatu Subgrup, elemen identitas
e termasukH. Karenanyaeh =h E HH, dan karenanyaH C HH. Keduahal ini
mengakibatkan HH =H.
Contoh 2.14
Satu-satunya Subgrup dari Grup Siklik berorder p, dengan p prima adalah
{E}, berdasarkan teorema Lagrange.
Contoh 2.15
Kita akan menentukan suatu subset S dari Grup Z dari integer di bawah
penjumlahan, sedemikian sehinggaS + S "*S, dan a ~ a + S untuk beberapa elemen
a E Z.
Misalkan S ={1,2,3,...}.Maka S + S ={2,3,4,...}"*S, dan 2 + S ={3,4,S,u.}
tidak mengandung 2.
Contoh 2.16
Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa Ha =Hb jika
dan hanya jika ab-l E H.
Jika Ha =Hb, maka a E Ha =Hb. Karenanya terdapat h E H sedemikian
sehingga a =hb, dan ab-l =h termasuk H. Ada lain pihak, pandang h =ab-l E H.
Maka a =hb E Hb. Tetapi a E Ha. Karena itu Ha =Hb, sebab Koset membentuk
suatu partisi dari G.
39
Contoh 2.17
Misalkan G ad~ah suatu Grup Hingga berorder n. Tunjukkan bah~a ~ =e
untuk sembarang a e G.
Jika 19p(a)1=In, maka am=e. Dari teorema Lagrange, m membagi n; katakanlah,
n =me. ~nanya
40

0 komentar:

Poskan Komentar

Bagi yang ingin komentar silahkan !!